Giải SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương V

A. Trắc nghiệm

Bài 5.31: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là

A. (1; 2; 3).

B. (1; −2; 3).

C. (1; 2; −3).

D. (1; −2; −3).

Đáp án: D

Mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là (1; −2; −3).

Bài 5.32: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; −1; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến là

A. x – y + 2z + 1 = 0.

B. x – y + 2z – 6 = 0.

C. 2x + y – z – 1 = 0.

D. 2x + y – z + 1 = 0.

Đáp án: D

Bài 5.33: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-2}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là

A. (1; −2; 3).

B. (2; 1; −2).

C. (2; 1; 2).

D. (1; 2; 3).

Đáp án: B

Đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-2}$ có một vectơ chỉ phương là (2; 1; −2).

Bài 5.34: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t\end{array}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là

A. (1; −2; 3).

B. (2; 0; 0).

C. (2; 1; −1).

D. (2; 1; 1).

Đáp án: C

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là: (2; 1; −1).

Bài 5.35: Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2; −1; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-3\right)$ làm vectơ chỉ phương là

A. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{1}$

B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{-3}$

C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-3}$

D. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{1}$

Đáp án: C

Đường thẳng d đi qua I(2; −1; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-3\right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-3}$

Bài 5.36: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 0; −1), B(2; 1; 1). Phương trình đường thẳng AB là

A. $\{\begin{array}{c}x=1+3t\\ y=t\\ z=1+2t\end{array}$

B. $\{\begin{array}{c}x=-1+t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$

C. $\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1+t\\ z=1+2t\end{array}$

D. $\{\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$

Đáp án: D

Có $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;2\right)$

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0; −1), nhận $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: $\{\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$

Bài 5.37: Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2; 1; −3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y + z – 3 = 0 là

A. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+3}{1}$

B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{1}$

C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{1}$

D. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{1}$

Đáp án: A

Bài 5.38: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + y2 + (z – 3)2 = 4. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là

A. I(1; 0; 3), R = 4.

B. I(1; 0; 3), R = 2.

C. I(−1; 0; 3), R = 2.

D. I(−1; 0; 3), R = 4.

Đáp án: C

Mặt cầu (S): (x + 1)2 + y2 + (z – 3)2 = 4 có tâm I(−1; 0; 3) và R = 2.

Bài 5.39: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là

A. I(1; −2; −1), R = 3.

B. I(1; 2; 1), R = 9.

C. I(1; 2; 1), R = 3.

D. I(1; −2; −1), R = 9.

Đáp án: A

Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 có tâm I(1; −2; −1) và $R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2+3}=3$

B. Tự luận

Bài 5.40: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(0; 1; 2), C(−1; −2; 3).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình đường thẳng AC.

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.

Lời giải:

Bài 5.41: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:$\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-2+t\\ z=4-2t\end{array}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Lời giải:

Bài 5.42: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 1; 0).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) $d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{\left|}{1-2.\left(-1\right)+2.2}=\frac{7}{3}$

b) Mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right)$

Vì (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (Q) là: x – 1 – 2(y + 1) + 2(z – 2) = 0 hay x – 2y + 2z – 7 = 0.

c) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;2;-2\right)$

Mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right)$

Có $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;2;2\right)$

Mặt phẳng (R) đi qua A(1; −1; 2) và nhận $\overrightarrow{n_R}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;1;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: y + 1 + z – 2 = 0 hay y + z – 1 = 0.

Bài 5.43: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và hai đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$, $d^{\prime }:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-1}$

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Lời giải:

Bài 5.44: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 3 = 0 và đường thẳng d:$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1;-1\right)$

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;-2\right)$

Có $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(-4;3;-5\right)$

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; -1; 0) và nhận $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(-4;3;-5\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: −4(x – 1) + 3(y + 1) −5z = 0 hay 4x – 3y + 5z – 7 = 0.